Лаборатория геометрических методов
математической физики
имени Н. Н. Боголюбова

Курс посвящен динамическим системам, отличающимся от интегрируемых систем малыми возмущениями. К таким системам приводят многие задачи механики, физики и самой теории динамических систем. Возмущения вызывают медленную эволюцию поперек поверхностей уровня первых интегралов невозмущенной задачи. Для приближенного описания этой эволюции классический метод усреднения предписывает усреднить скорость эволюции по фазам невозмущенного движения. Этот простой рецепт не всегда приводит к правильному ответу из-за возникающих в ходе эволюции резонансов между частотами невозмущенных колебаний. Происходящие при этом вероятностные явления определяют динамику системы на больших временах. Для описания этих явлений можно использовать асимптотические методы, также основанные на усреднении возмущений. В курсе будут рассмотрены как задачи, в которых классический метод усреднения работает и дает правильное описание динамики, так и задачи, в которых резонансные явления нарушают применимость стандартных схем усреднения.

Некоторые фундаментальные нелинейные физические процессы формулируются как деформация областей на комплексной плоскости. Cоответствующие интегро-дифференциальные уравнения (в особенности те, что описывают Лапласовский рост) обладают такими замечательными свойствами, как наличие многочисленных точных конечномерных решений и бесконечного числа независимых законов сохранения. В представленном курсе лекций исследуются эти свойства и выявляется глубокая связь этих задач с некоторыми классическими (обратная задача Ньютоновского потенциала) и современными (интегрируемые бездисперсионные иерархии) математическими темами.

В частности, в терминах т.н. функции Шварца, задача деформации области (или, что то же, динамика её границы) переписывается как обратная задача потенциала, а также как квазиклассический предел двумеризованной интегрируемой иерархии Тоды. Kроме того, мы решим две классические задачи отбора в двумерном Лапласовском росте, используя точные конечномерные решения, упомянутые выше, и (если останется время) сформулируем задачу Стоксовского роста, связь которой с современной теорией интегрируемых систем, к сожалению, пока не вскрыта, несмотря на бесконечное число законов сохранения и наличие классов точных конечномерных решений в этой задаче.

От аудитории не требуется никаких предварительных знаний, кроме теории функций одного комплексного переменного и теоремы Стокса (Гаусса, Грина).