Министерство образования и науки РФ МГУ им. М.В.Ломоносова Мехмат МГУ Кафедра высшей геометрии и топологии

Лаборатория геометрических методов
математической физики
имени Н. Н. Боголюбова

9-я Международная молодежная летняя школа-конференция

по геометрическим методам математической физики

5 - 10 июля 2022 г., дом отдыха МГУ "Красновидово", Московская область

проводится
Математическим центром мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН) и
Лабораторией геометрических методов математической физики имени Н.Н.Боголюбова.

Конференция проводится при финансовой поддержке Фонда Саймонса и Минобрнауки России (грант на создание и развитие МЦМУ МИАН, соглашение № 075-15-2022-265)

Программно-организационный комитет: Л.А.Алания, А.А.Гайфуллин, И.А.Дынников, Д.В.Миллионщиков, С.В.Смирнов, Е.В.Троицкий, В.А.Шастин

Информация о предыдущих школах: 2021, 2020, 2019, 2018, 2016, 2015, 2014, 2013, 2012, 2011

Адрес оргкомитета gmmp.school@gmail.com.

Для заявки на участие в школе необходимо заполнить анкету по адресу https://forms.gle/gz19oksYAofbbrur8 до 5 июня 2022 г.

Отобранным Оргкомитетом участникам будет обеспечено проживание и питание во время Школы, а также автобусный трансфер от МГУ в день заезда и обратно по окончании работы Школы. К сожалению, Оргкомитет не может покрыть транспортные расходы иногородних участников до Москвы.
Решение Оргкомитета будет сообщено 20 июня 2022 г.

Лекции школы

Сабир Меджидович Гусейн-Заде (МГУ) Сбоку от зеркальной симметрии
Зеркальная симметрия (в её исходной форме) состояла в наблюдении о существовании пар многообразий специального вида с замечательными свойствами симметрии некоторых их инвариантов, изначально - чисел Ходжа. Это наблюдение возникло в физике при анализе так называемых моделей Ландау-Гинзбурга. Они связаны с понятием орбифолда и их анализ привел к появлению новых необычных инвариантов, например, орбифолдной эйлеровой характеристики. Первая систематическая попытка конструирования зеркально-симметричных моделей Ландау-Гинзбурга принадлежала П.Берглунду, Т.Хюбшу и М.Хеннингсону. Входными данными для (орбифолдной) модели Ландау-Гинзбурга является пара (f,G), состоящая из квазиоднородного многочлена f от нескольких переменных и конечной группы сохраняющих его линейных преобразований. В конструкции Берглунда-Хюбша-Хеннингсона в качестве f участвуют, так называемые, обратимые многочлены, а в качестве G - подгруппы групп их диагональных симметрий (которые, конечно, абелевы). По паре (f,G) описанного вида строится двойственная по Берглунду-Хюбшу-Хеннингсону пара (f^~,G^~). Двойственные пары (f,G) и (f^~,G^~) обладают рядом "зеркально симметричных" свойств (например, симметрией ряда орбифолдных инвариантов, простейшим из которых является орбифолдная эйлерова характеристика). Было построено обобщение этой двойственности на группы симметрий, являющиеся полупрямыми произведениями группы G диагональных симметрий обратимого многочлена f и группы S перестановок координат, сохраняющих f и G. (Конструкция основана на идее А.Такахаши и поэтому называется двойственностью Берглунда-Хюбша-Хеннингсона-Такахаши.) Оказывается, что двойственные по Берглунду-Хюбшу-Хеннингсону-Такахаши пары могут претендовать на зеркальную симметричность только при выполнении специальных ограничений на группу S перестановок координат: так называемое условие четности.
Цикл лекций назван "Сбоку от ...", в частности, потому, что в современном понимании понятие (или, правильнее, понятия: имеется не одна версия) зеркальной симметрии сильно отличается от исходного. Надеюсь, что для понимания лекций не понадобится знаний, выходящих за рамки третьего курса: необходимые понятия и утверждения будут определены и/или объяснены. Пожалуй, наиболее "продвинутым" понятием, желательным (но тоже не обязательным: при необходимости оно тоже будет определено) для понимания является понятие групп когомологий. При этом достаточно ограничиться группами когомологий де Рама (которые обычно обсуждаются в рамках курса дифференциальной геометрии и топологии).
Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект 21-11-00080)
Сергей Юрьевич Доброхотов (ИПМ РАН) Конструктивные геометрические асимптотики и операторные подходы в задачах математической физики
Лекции посвящены аналитическим методам построения эффективных асимптотик быстроменяющихся решений широкого круга дифференциальных и псевдодифференнциальных уравнений. В основе методов лежат геометрические объекты – лагранжевы многообразия в фазовых пространствах, сотканные из траекторий классических гамильтоновых систем. Знание таких многообразий и последующее применение канонического оператора Маслова позволяет построить асимптотические решения различных дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений, возникающих в различных областях квантовой механики, механики сплошных сред, теории ортогональных полиномов и т.д. Обсуждаемые асимптотики находятся в рамках квазиклассического приближения и основополагающие идеи их построения были предложены более 50 лет назад. В лекциях речь пойдет о недавно построенных существенных модификациях указанных асимптотических конструкций, позволивших, с одной стороны, выражать ответ в эффективной форме, например, через специальные функции, и реализуемый с помощью программ типа Mathematica, а, с другой, - существенно расширить область рассматриваемого круга задач, допустив, например, негладкость возникающих лагранжевых многообразий. Также внимание будет уделено некоторым полезным соображениям, вытекающим из операторного исчисления Фейнмана-Маслова. Общие конструкции будут проиллюстрированы примерами из теории ортогональных полиномов, квантовой механики (физики графена, в частности), теории волновых пучков, гидродинамики. Каких-либо особых математических знаний не предполагается.
Сергей Константинович Ландо (ВШЭ, Сколтех) Весовые системы, связанные с алгебрами Ли и инварианты графов
Инварианты узлов это функции на классах изотопии узлов. Их задача - различать неизотопные узлы. Теория В.А.Васильева инвариантов узлов конечного порядка позволяет сопоставить каждому такому инварианту функцию на хордовых диаграммах - простых комбинаторных объектах, состоящих из окружности и нескольких хорд в ней. Такие функции называются "весовыми системами". В силу теоремы Концевича это соответствие, по сути, взаимно-однозначно: каждая весовая система определяет некоторый инвариант узлов.
В частности, весовую систему можно сопоставить любой полупростой алгебре Ли. Однако уже в простейшем нетривиальном случае - для алгебры Ли sl(2) - подсчет значений соответствующей весовой системы является вычислительно нетривиальной задачей. В то же время, эта весовая система весьма важна, поскольку она соответствует знаменитому инварианту узлов, называемому крашенным многочленом Джонса.
За последний год в понимании весовых систем, связанных с алгебрами Ли, произошли существенные прорывы. Выведены и доказаны явные формулы для значений весовой sl(2)-системы на некоторых важных сериях хордовых диаграмм. Разработаны методы для вычисления gl(N)-весовой системы, эффективно работающие при всех N. Эти методы основаны на идее М.Э.Казаряна о возможности продолжения gl(N)-весовой системы на произвольные перестановки.
В двух лекциях будут даны необходимые определения и сформулированы результаты, в том числе, связывающие весовые системы с инвариантами графов. Будет предложен ряд задач - как решенных, так и представляющих собой открытые проблемы.
Степан Юрьевич Оревков (МИАН, ВШЭ, МФТИ, Университет Тулузы) Ортогональные многочлены от нескольких переменных и формулы Плюккера
Классические системы ортогональных многочленов (многочлены Якоби, Лагерра и Эрмита на отрезке, полупрямой и прямой соответственно) являются собственными базисами некоторых дифференциальных операторов второго порядка, симметричных в пространстве L² относительно некоторой меры.
Доминик Бакри поставил задачу обобщить эту конструкцию на произвольную размерность, а именно, описать все тройки (Ω,A,μ), где Ω - область в d-мерном пространстве, μ - мера, A - эллиптический дифференциальный оператор второго порядка, симметричный в L²(Ω,μ), и такой, что пространства многочленов ограниченной степени (или взвешенной степени для некоторых весов) A-инвариантны. В этом случае оператор A имеет собственный базис, состоящий из многочленов.
Я планирую расскзать решение этой задачи в размерности два и, в некоторых частных случаях, в размерности три. Используемый подход основан на применении формул Плюккера и их обобщений, связывающих числа особенностей разных типов у комплексной алгебраической кривой и ее проективно двойственной кривой. В качестве одной из главных целей курса я рассматриваю привлечение внимания к формулам Плюккера и их обобщениям, в том числе к тем, которые еще предстоит найти (возможно, кому-нибудь из слушателей).
Армен Глебович Сергеев (МИАН) Математические задачи теории топологических диэлектриков
Миникурс посвящен одному из интенсивно развивающихся разделов физики твердого тела - теории топологических диэлектриков. Помимо физической значимости этого направления в теоретической физике его отличают многочисленные связи с различными разделами современной математики такими как топология, теория клиффордовых алгебр, К-теория и некоммутативная геометрия.
Топологические диэлектрики характеризуются наличием энергетической щели, устойчивой к малым деформациям, что является основанием для использования топологических методов при их изучении.
Ключевую роль играет исследование групп симметрий топологических объектов. Имеются три основных типа таких симметрий - симметрия относительно обращения времени (которой будет уделено особое внимание), симметрия сохранения числа частиц (или зарядовая симметрия) и PH-симметрия (симметрия между частицами и дырками). Исходя из описания возможных групп симметрий, Алексей Китаев предложил классификацию топологических объектов в теории твердого тела, о которой будет рассказано в лекциях.
Дмитрий Валерьевич Талалаев (МГУ) Полная положительность и электрические сети
Кластерные алгебры и полностью положительные матрицы - одна из бурно развивающихся областей современной математики. Кластерные алгебры возникли в задачах малых устойчивых колебаний линейных континуумов, получили второй всплеск внимания благодаря теории канонических базисов Люстига, сейчас широко известны благодаря связям с теорией интегрируемых систем, диофантовых уравнений, моделями статистической механики.
В курсе я расскажу о происхождении области полностью положительных матриц, дам необходимые определения кластерных многообразий и разберу основные примеры. Особое внимание будет уделено электрическим аналогам кластерных многообразий.
План по лекциям:
1. Полностью положительные матрицы. Определение, пример верхнетреугольных матриц и полных квадратных матриц. Задачи минимальной параметризации. Обменные преобразования.
2. Кластерные алгебры. Общее определение, реализация кластерных алгебр, соответствующих Грассманианам и группе верхнетреугольных матриц.
3. Осцилляционные матрицы и задача устойчивых малых колебаний. Электрические сети и электрические кластерные многообразия.

Участники школы

Аксенова Дарья Дмитриевна (ПОМИ РАН)
Александров Степан Андреевич (МФТИ)
Афонин Кирилл Александрович (МГУ)
Бакшеев Глеб Егорович (Независимый Московский Университет)
Балабанов Пётр Григорьевич (МГУ)
Бельский Артём Юрьевич (МФТИ)
Вахрина Анастасия Олеговна (СПбГУ)
Витковский Андрей Владиславович (МГУ)
Водолеев Марк Дмитриевич (МГУ)
Вылегжанин Федор Евгеньевич (МГУ)
Вячеслав Мартиросович Егоров (МГУ)
Голицын Денис Антонович (ЯрГУ им.Демидова)
Гончаров Вячеслав Александрович (СПбГУ)
Горчаков Владимир Юрьевич (НИУ ВШЭ)
Григорьев Андрей Алексеевич (Сколтех, НИУ ВШЭ)
Данилин Илья Валерьянович (МФТИ)
Елфимов Никита Сергеевич (МГУ)
Кенжаев Тимур Джураевич (Сколтех)
Корнев Михаил Игоревич (МГУ)
Корюкин Григорий Валерьевич (МГУ)
Кутузова Алина Андреевна (ЯрГУ им.Демидова)
Марков Михаил Викторович (МГУ)
Меджидова Барият Зияудиновна (МГУ)
Миллер Алексей Юрьевич (СПбГУ)
Михальчук Матвей Михайлович (МГУ)
Петрова Юлия Эдуардовна (НИУ ВШЭ)
Пугачева Ирина Дмитриевна (МГУ)
Раровский Антон Алексеевич (НИУ ВШЭ)
Рахматуллаев Темурбек Анасбекович (МГУ)
Рябичев Андрей Дмитриевич (НИУ ВШЭ)
Смирнов Вадим Маратович (СПбГУ)
Смирнова Анна Сергеевна (НИУ ВШЭ)
Супрун Павел Алексеевич (МФТИ)
Сурмеева Алсу Рушановна (МФТИ)
Чернавских Михаил Михайлович (МГУ)
Чернизова Алина Владиславовна (СПбГУ)
Черных Георгий Сергеевич (МГУ)
Ястребова Оксана Владимировна (НИУ ВШЭ)

Расписание занятий (предварительное, возможны изменения!)

Фото участников

Отправление автобуса от Южного входа во второй корпус ГФ 5-го июля 2022 г. Сбор в 13 час. 30 мин.

Расположение зданий МГУ (второй корпус ГФ=строение 52, см. разъяснения ниже карты).

Информация для тех, кто планирует добираться самостоятельно.

Телефон: (495) 939-28-84, адрес: Москва, Ленинские горы, 2-й гуманитарный корпус, ауд. 456, e-mail: dubrovinlab@gmail.com

Лаборатория геометрических методов математической физики имени Н. Н. Боголюбова