Комбинаторая топология, многогранники

Первоначальные идеи торической топологии возникли в алгебраической геометрии, где богатый и важный класс алгебраических многообразий описывался в терминах комбинаторных объектов, так называемых "вееров". Наблюдения 80х годов в симплектической геометрии говорят о том, что образом отображения моментов симплектического многообразия является выпуклый многогранник (в интегрируемом случае) половинной размерности. Общим в этих примерах является то, что сложные алгебро-топологические объекты можно описывать в комбинаторных терминах, а саму комбинаторику задает действие тора - в первом случае комплексного, а в симплектическом - вещественного, тора Лиувилля.

Как удачно заметил В.М.Бухштабер, эти действия допускают очень элегантную, чисто топологическую аксиоматизацию при некоторых ограничениях на действие тора. Это и послужило началом торической топологии.

Торическая топология изучает алгебраические, комбинаторные, дифференциальные и гомотопические аспекты тех действий тора, для которых пространство орбит несёт богатую комбинаторную структуру. Особенностью этой области является возможность описания геометрических и топологических характеристик действия тора и пространств, несущих такое действие, в терминах комбинаторики пространства орбит.

Дальнейшие исследования выявили ряд важных классов многообразий с действием тора, происхождение которых восходит к торическим или симплектическим многообразиям. Эти более общие многообразия имеют чисто топологическую природу и обычно не являются алгебраическими или симплектическими, что предоставляет более широкие возможности для приложения методов торической топологии в комбинаторике и коммутативной алгебре, но в то же время обладают важнейшими топологическими свойствами их алгебраических или симплектических предшественников.

Данным направлением в лаборатории занимаются В.М.Бухштабер, Т.Е.Панов, А.А.Гайфуллин, А.А.Айзенберг, Н.Ю.Ероховец.

Изложению результатов о квазиторических многообразиях и момент-угол комплексах, их роли в торической топологии и приложениям в комбинаторной геометрии и гомологической алгебре посвящена монография Бухштабера и Панова [1]. В 2004 году появилось её существенно расширенное русское издание [2].

Роды Хирцебруха торических и квазиторических многообразий. Работы Бухштабера-Рэя показали [3], что квазиторические многообразия играют важную роль в теории комплексных кобордизмов — классической области алгебраической топологии. В отличие от торических многообразий, квазиторические многообразия могут не быть комплексными, однако они всегда допускают стабильно комплексную структуру, и их классы кобордизмов порождают все кольцо комплексных кобордизмов. Стабильно комплексная структура на квазиторическом многообразии определяется в чисто комбинаторных терминах — при помощи так называемой характеристической функции, сопоставляющей каждой гиперграни многогранника Pⁿ некоторый примитивный вектор в Zⁿ (характеристическая функция играет роль веера, сопоставляемого торическому многообразию в алгебраической геометрии).

Момент-угол комплексы. Теория момент-угол комплексов, создателями которой являются В.М.Бухштабер и Т. Е. Панов, представляет собой один из основных инструментов современных приложений торической топологии. Момент-угол комплексы тесно связаны с торическими и квазиторическими многообразиями и своим происхождением обязаны работе [12], где каждому симплициальному комплексу K с m вершинами было сопоставлено вспомогательное T^m-пространство Z_K. Вскоре стало ясно, что пространства Z_K представляют отдельный большой интерес в торической топологии, и они получили известность под названием момент-угол комплексов [1]. Они возникают в теории гомотопий как гомотопические ко-пределы диаграмм торов [5], в симплектической топологии как поверхности уровня для отображений моментов гамильтоновых действий тора [4] и в теории конфигураций подпространств как дополнения конфигураций координатных подпространств [1, Ch. 8]. Конструкция момент-угол комплексов даёт функтор из категории симплициальных комплексов и симплициальных отображений в категорию пространств с действием тора и эквивариантных отображений. Если K является триангуляцией (n-1)-мерной сферы, то Z_K является (m+n)-мерным многообразием.

Аналогичные многогранники и кобордизмы квазиторических многообразий. В работе Бухштабера–Панова–Рэя [6] методы выпуклой геометрии и, в частности, теория аналогичных многогранников применяются для изучения квазиторических многообразий в контексте стабильно комплексных многообразий с действием тора. Понятие аналогичных многогранников впервые появилось в работах Александрова в 1930-х годах, а затем теория аналогичных многогранников получила существенное развитие в недавних работах Пухликова и Хованского. Наши приложения этой теории включают явную конструкцию квазиторического представителя в каждом классе комплексных кобордизмов. Квазиторический представитель строится как факторпространство вещественного полного пересечения квадратичных гиперповерхностей по действию тора. Это полное пересечение есть ни что иное, как ещё одна интерпретация момент-угол комплекса. Мы предлагаем систематическое описание квазиторических многообразий в терминах комбинаторных данных, и описываем взаимосвязь с неособыми проективными торическим многообразиями.

Гомотопические аспекты торической топологии. Различные конструкции гомотопических прямых пределов в последнее время часто возникают в приложениях гомотопической топологии. В работе Панова, Рэя и Фогта [5] было доказано, что функторы классифицирующего пространства и пространства петель коммутируют с функтором гомотопического прямого предела (с классическим функтором прямого предела они не коммутируют).

В качестве следствия получены модели пространств петель на момент-угол комплексах и их конструкциях Бореля — пространствах Дэвиса–Янушкиевича — в виде гомотопических прямых пределов диаграмм торов в категории топологических групп. Эти модели применены для вычислении Ext-когомологий Ext_Z[K](Z; Z) кольца Стенли–Райснера — классической задачи гомологической алгебры. Это применение стало возможным благодаря результату Бухштабера–Панова [1] об изоморфизме когомологий кольца Стенли–Райснера и кольца Понтрягина гомологий петель на пространстве Дэвиса–Янушкиевича [7].

Комбинаторные многообразия с заданными наборами линков. Для преобразования L, сопоставляющего каждому ориентированному замкнутому комбинаторному многообразию набор классов изоморфизма линков его вершин, ставится задача об обращении. Эта задача оказалась тесно связаной с классической проблемой Стинрода о реализации циклов и конструкцией Рохлина–Шварца–Тома комбинаторных классов Понтрягина. Получено условие сбалансированности, являющееся необходимым для того, чтобы набор классов изоморфизма комбинаторных сфер принадлежал образу преобразования L. А.А.Гайфуллиным [8] получена явная конструкция, показывающая, что каждый набор классов изоморфизма комбинаторных сфер, удовлетворяющий этому условию сбалансированности, попадает в образ преобразования L после перехода к кратному набору и добавления некоторого количества пар вида (Z,-Z), где -Z есть сфера Z с обращенной ориентацией. Найдены приложения основной конструкции к изучению кобордизмов многообразий с особенностями и кобордизмов простых клеток. В частности, доказано существование локальных формул для всех рациональных аддитивных инвариантов кобордизмов с особенностями. В качестве приложения построены явные, хотя и неэффективные, локальные комбинаторные формулы для полиномов от рациональных классов Понтрягина комбинаторных многообразий.

Литература

1. Victor M. Buchstaber and Taras E. Panov. Torus actions and their applications in topology and combinatorics. University Lecture, vol. 24, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002 (152 pages).
2. В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов. Торические действия в топологии и комбинаторике. Издательство МЦНМО, Москва, 2004 (272 стр.).
3. Victor M. Buchstaber and Nigel Ray. Tangential structures on toric manifolds, and connected sums of polytopes. Internat. Math. Res. Notices 4 (2001), 193–219.
4. Taras E. Panov. Topology of Kempf–Ness sets for algebraic torus actions, in “Proceedings of the International Conference ‘Contemporary Geometry and Related Topics’ (Belgrade, 2005)”, N.Bokan et al, editors, University of Belgrade, 2007; (http://arXiv:math.AG/0603556) .
5. Taras Panov, Nigel Ray and Rainer Vogt. Colimits, Stanley–Reiner algebras, and loop spaces, in: “Categorical Decomposition Techniques in Algebraic Topology (Isle of Skye, 2001)”, Progress in Math., vol. 215, Birkhauser, Basel, 2004, pp. 261–291; (http://arXiv:math.AT/0202081) .
6. Victor M. Buchstaber, Taras E. Panov and Nigel Ray. Spaces of polytopes and cobordism of quasitoric manifolds. Moscow Math. J. 2 (2007), 219-242 ; (http://arXiv:math.AT/0609346) .
7. Michael W. Davis and Tadeusz Januszkiewicz. Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus actions. Duke Math. J. 62 (1991), no. 2, 417–451.
8. А. А. Гайфуллин. Построение комбинаторных многообразий с заданными наборами линков вершин. Изв. РАН. Сер. Матем., 72 (2008), вып. 5, 3–62.