Некоммутативная геометрия и математическая физика

В основе применения методов некоммутативной геометрии [1] в математической физике лежит аналогия между квантованием и основной идеей перехода от коммутативной к некоммутативной геометрии, заключающейся в следующем. Рассмотрим "хорошее" топологическое пространство X. Ему можно поставить в соответствие C*-алгебру C(X) непрерывных функций на нем. Более того, в силу изоморфизма Гельфанда данное соответствие является биективным и сохраняющим основную информацию. Теперь рассмотрим вместо коммутативной С*-алгебры C(X) произвольную (некоммутативную) С*-алгебру A. То (мифическое) пространство, которому могла бы соответствовать A, называется "некоммутативным пространством". При этом, конечно, все рассуждения и построения ведутся строгим образом с самой алгеброй A.

Наряду с исследованиями, полностью подпадающими под эту схему (В.М.Мануйлов, Е.В.Троицкий), в Лаборатории развиваются методы, использующие другие некоммутативные структуры, в частности, группы и алгебры Ли (Д.В.Миллионщиков, А.В.Пенской) [2,3] и алгеброиды Ли (А.С.Мищенко) [4,5]. О развитии некоммутативной геометрии сотрудниками лаборатории для дифференциально-топологических приложений можно прочесть здесь.

Квантование разветвленных накрытий. Как хорошо известно, накрытия играют одну из ключевых ролей в алгебраической топологии, где рассматриваются, в основном, локально-тривиальные накрытия. Однако во многих ситуациях (например, в алгебраической геометрии) естественным образом возникают не локально-тривиальные, например, разветвленные накрытия. Здесь мы будем понимать под разветвленным накрытием непрерывную открытую сюръекцию p:X → Y компактных хаусдорфовых пространств с равномерно ограниченным (конечным) числом прообразов. Естественно, тут уже фигурируют две С*-алгебры: C(X) и C(Y), в терминах которых нужно описать все свойства данной ситуации. Тогда, заменив C(X) и C(Y) на общие (некоммутативные) С*-алгебры A и B, мы получим искомое "некоммутативное разветвленное накрытие". Это удалось сделать в работе [6]. Окончательный ответ звучит так: некоммутативное разветвленное накрытие - это пара (A,B) C*-алгебр, причем A - подалгебра B и у них общая единица. При этом требуется выполнение одного из следующих эквивалентных условий

• Алгебра B может быть снабжена структурой скалярного произведения со значениями в A таким образом, что B становится (полным) гильбертовым модулем.
• Имеется положительное условное ожидание E:B → A топологически конечного индекса (в смысле [7]).

Индекс калибровочно-инвариантных семейств и крученая К-теория. Теория струн является одним из основных кандидатов на роль аппарата "единой теории" фундаментальных взаимодействий. После временного охлаждения интерес научного сообщества к этой теории снова возрос. Во многом это связано с (еще не завершенной) M-теорией, и в частности, теорией D-бран, которые играют роль граничных условий для струн. Как показал, в частности, Э.Виттен, теория струн связана с K-теорией, в частности, теория D-бран связана с крученой K-теорией. В лаборатории в этой связи развивается направление некоммутативной геометрии, которое связано и с крученой K-теорией, и с калибровочной симметрией.

Более точно, рассмотрим следующую ситуацию. Пусть p:G→ B - локально-тривиальное расслоение с типичным слоем G и структурной группой Aut(G), где G - компактная группа Ли, а B - гладкое компактное многообразие без края. Пусть G послойно действует на гладком локально-тривиальном расслоении Y → X, а также на векторных расслоениях над Y. Если у нас есть семейство псевдодифференциальных эллиптических операторов над X, действующих в сечениях этих расслоений G-эквивариантным образом, то естественно назвать это расслоение калибровочно-инвариантным. Оказывается, для индекса этого семейства, принимающего значения в K_G(B) - K-теории, построенной по G-эквивариантным расслоениям над B, - при некоторых предположениях типа конечной голономии индуцированного расслоения представлений, можно доказать соответствующую теорему об индексе. При этом K_G(B) -некоторая разновидность крученой K-теории, отвечающая скручиваниям из третьих когомологий. На С*-языке этой ситуации отвечает алгебра, обобщающая алгебру Азумая. Эти и смежные результаты получены в [8,9,10].

Транзитивные алгеброиды Ли. Алгеброиды Ли представляют собой структуру, отражающую различные аспекты гладких многообразий, связанные с дифференциальными операторами и динамическими системами на многообразиях. Они могут служить инфинитезимальными объектами для группоидов Ли по аналогии с конечномерными алгебрами, которые служат инфинитезимальными объектами для групп Ли. С другой стороны алгеброиды Ли отражают общие свойства различных операций дифференцирования на гладких многообразиях. В частности, алгебра Ли всех дифференцирований, действующая на пространстве всех гладких функций некоторого многообразия, или, что то же самое, алгебра всех гладких векторных полей на многообразии, является простейшим примеров транзитивного алгеброида Ли. Алгебра Ли всех дифференцирований вдоль некоторого слоения многообразия, является примером регулярного алгеброида Ли. По поводу приложений группоидов и алгеброидов Ли в математической физике см., например, [11].

Ковариантные дифференцирования тензорных полей, а также дифференцирования гладких сечений векторных расслоений на многообразии порождают примеры более сложных транзитивных алгеброидов Ли. Ряд существенных черт транзитивных алгеброидов Ли на гладком многообразии позволяет строить и изучать новые гомологические инварианты на многообразиях. Для транзитивного алгеброида Ли строятся группы когомологий, которые можно интерпретировать как когомологии многообразия с нетривиальными коэффициентами, более сложными, чем локальные системы коэффициентов. В частности, для когомологий транзитивных алгеброидов Ли определяется сигнатурный инвариант, вычисление которого сводится к некоторым спектральным последовательностям [12,13,14]. Другим важным свойством транзитивных алгеброидов Ли является существование обратного образа (pullback) транзитивного алгеброида для гладких отображений многообразий, который оказывается инвариантным при гладких гомотопиях отображений. Гомотопическая инвариантность обратного образа позволяет строить транзитивные алгеброиды Ли учитывая только краткий набор данный в виде структурной конечномерной алгебры Ли g, локально тривиального векторного расслоения алгебр Ли со структурной группой автоморфизмов алгебры Ли g и специальной топологией, препятствующего коцикла и свободного действия 2-мерной группы когомологий [15]. В частности А.С.Мищенко показал [4,16], что имеется такая конструкция финального пространства B_g, что семейство всех транзитивных алгеброидов Ли со структурной алгеброй Ли g над многообразием M находится во взаимно однозначном соответствии с множеством гомотопических классов непрерывных отображений [M,B_g]:

A(M) ≈ [M,B_g].

Из указанной конструкции проистекает возможность описать характеристические классы транзитивных алгеброидов Ли с категорной точки зрения и сравнить их с гомоморфизмом Черна-Вейля.

Литература

1. A. Connes, Non-commutative geometry Boston, MA: Academic Press, 1994.
2. Д. В. Миллионщиков, Алгебра формальных векторных полей на прямой и гипотеза Бухштабера Функц. анализ и его прил., 2009, том 43, выпуск 4, страницы 26–44
3. Alexei V. Penskoi: Extremal spectral properties of Otsuki tori arXiv:1108.5160
4. A. S. Mishchenko: Characteristic classes of transitive Lie algebroids. Categorical point of view arXiv:1111.6823
5. Alexander S. Mishchenko, Jose Ribeiro: Generalization of the Sullivan construction for Transitive Lie Algebroids arXiv:1102.5698
6. A. A. Pavlov, E. V. Troitskii, Quantization of branched coverings. Russian Journal of Mathematical Physics 18 (2011) Issue: 3, 338-352.
7. M. Frank, E. Kirchberg, On Conditional Expectations of Finite Index, J. Operator Theory 40 (1998), N 1, 87–111.
8. V. Nistor, E. Troitsky, An index for gauge-invariant operators and the Dixmier-Douady invariant. Trans. Amer. Math. Soc., 356 (2004) No.1, 185-218.
9. V. Nistor, E. Troitsky, The Thom isomorphism in gauge-equivariant K-theory. In: C*-algebras and elliptic theory, Birkhäuser Trends in Math. series, 2006, pp.213-245. http://arxiv.org/abs/math/0506408
10. V. Nistor, E. Troitsky, Index Theorem for gauge-equivariant families. Preprint, 2012.
11. Nicholas P. Landsman, Mathematical Topics between Classical and Quantum Mechanics, Springer, 1998, pp 575.
12. Я. Кубарски, А.С. Мищенко, Алгеброиды Ли: спектральные последовательности и сигнатура, Математический сборник, 194 (2003), N 7, 127-154.
13. J. Kubarski, A.S. Mishchenko, Nondegenerate cohomology pairing for transitive Lie algebroids, characterization, Central European Journal of Mathematics, 2 (2004), No. 5, 663-707.
14. J. Kubarski, A.S. Mishchenko, Algebraic aspects of the Hirzebruch signature operator and applications to transitive Lie algebroids, Russian Journal of Mathematical Physics, 16 (2009), No. 3, 413-428.
15. K.C.H. Mackenzie, General Theory of Lie Groupoids and Lie Algebroids, Cambridge University Press, 2005.
16. A.S. Mishchenko, Transitive Lie algebroids - categorical point of view, arXiv:1006.4839v1.