Изучение тотально неотрицательных матриц -- прямоугольных матриц, у которых все миноры больше или равны 0 было начато в 30-е годы прошлого века в работах Шонеберга, Гантмахера и Крейна. Близкая задача -- изучение прямоугольных матриц, у которых все максимальные миноры больше или равны 0, или, что эквивалентно помножеств в многообразиях Грассмана, задаваемых условиями неотрицательности всех плюккеровых координат. Поскольку плюккеровы координаты связаны между собою соотношениями Плюккера, эта задача далеко нетривальна, и ее решение было дано сравнительно недавно в терминах специальных графов с положительными весами на ребрах.

Тотально неотрицательные матрицы и грассманианы возникают в ряде задач математики и физики. В частности, по ним строятся вещественные многосолитонные решения уравнения Кадомцева-Петвиашвили 2, среди приложений котрого - моделирование волн на поверхности воды с учетом нелинейности.

Поток Тоды -- это динамическая система, описывающая поведение n точечных частиц на прямой, между которыми действуют силы отталкивания, экспоненциально убывающие в зависимости от расстояния. В открытой цепочке Тоды взаимодействуют 1-ая и 2-ая частицы, 2-ая и 3-я, ..., (n-1)-ая и n-ая. При стремлении времени к бесконечности, частицы разлетаются, а их скорости стабилизируются. В периодической (или замкнутой) цепочке Тоды добавляется взаимодействие между 1-ой и n-ой частицей. Из-за него частицы не разлетаются, а демонстрируют квазипериодическое движение вокруг общего центра масс, который движется по прямой с постоянной скоростью.

И замкнутый и открытый потоки Тоды удобно переписать в виде пары Лакса, то есть в виде матричного дифференциального уравнения. Мы забудем про изначальную формулировку, и будем изучать поток Тоды как динамическую систему на пространстве периодических трехдиагональных симметричных матриц с фиксированным простым спектром. В этом пространстве есть открытое подмножество, которое расслаивается на торы Лиувилля-Арнольда, соответствующие траекториям периодического потока Тоды. Дополнение до этого открытого множества будем называть дискриминантом: оно соответствует потокам открытых цепочек Тоды.

Известно, что евклидово пространство можно замостить параллельными копиями правильного пермутоэдра. Если факторизовать такое замощение по некоторой специальной подрешетке, то получится удивительное разбиение тора на пермутоэдры. С одной стороны, это разбиение описывает комбинаторику дискриминанта потока Тоды. С другой стороны, оно позволяет явно построить кристаллизацию (то есть минимальное по числу вершин симплициально-клеточное разбиение) тора любой размерности.

Есть много различных подходов к понятию интегрируемости дифференциальных уравнений: для каждого класса уравнений, как правило, вводится свое определение интегрируемости, которое позволяет эффективно работать именно с уравнениями такого вида (например, интегрируемость по Лиувиллю, интегрируемость методом обратной задачи рассеяния, симметрийный подход). Для гиперболических уравнений с двумя независимыми переменными вводится понятие интегрируемости по Дарбу, которое имеет чисто алгебраическую характеристику – конечномерность некоторой алгебры Ли.

Мы поговорим об интегрируемости вообще, определим понятия алгебры Ли и характеристической алгебры гиперболического уравнения, рассмотрим несколько важных примеров и поговорим о том, как эти конструкции обобщаются на случай дискретных гиперболических уравнений.